Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết \(OB=2cm, OA=4cm\).
Giải:

a) Vì AB, AC là các tiếp tuyến nên \(AB=AC\) và \(\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\).
Suy ra \(OA\perp BC\) (tính chất của tam giác cân).
b) Điểm B nằm trên đường tròn đường kính CD nên \(\widehat{CBD}=90^{\circ}\).
Suy ra BD//AO (vì cùng vuông góc với BC).
c) Nối OB thì \(OB\perp AB.\)
Xét tam giác AOB vuông tại B có: \(\sin \widehat = {{OB} \over {OA}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \widehat{A_{1}}=30^{\circ}\Rightarrow \widehat{BAC}=60^{\circ}.\)
Tam giác ABC cân, có một góc \(60^{\circ}\) nên là tam giác đều.
Ta có \(AB^{2}=OA^{2}-OB^{2}=4^{2}-2^{2}=12\Rightarrow AB=2\sqrt{3.}\)
Vậy \(AB=AC=BC=2\sqrt{3}cm\).
Nhận xét. Qua câu c) ta thấy: Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng \(60^{\circ}\).