a,

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC bằng: SABC=12AB.ACSABC=12AB.AC

AH vuông góc với BC nên diện tích tam giác ABC được tính bằng: SABC=12AH.BCSABC=12AH.BC

Do đó 12AH.BC=SABC=12AB.AC⇔AH.BC=AB.AC12AH.BC=SABC=12AB.AC⇔AH.BC=AB.AC

b,

MN vuông góc với AB, MP vuông góc với AC nên ˆMNA=ˆMPA=90∘MNA^=MPA^=90∘

Tam giác ABC vuông tại A nên tứ giác ANMP có 3 góc vuông là góc A, N, P 

Do đó ANMP là hình chữ nhật

c,

Gọi I là giao điểm của NP và AM

ANMP là hình chữ nhật nên I là trung điểm NP và AM và AM=NP

Tam giác AHM vuông tại H có trung tuyến HI nên HI=12AM=12NPHI=12AM=12NP

Tam giác NHP có trung tuyến HI thỏa mãn HI=12NPHI=12NP nên tam giác NHP vuông tại H

Do đó ˆNHP=90∘NHP^=90∘

d,

NP nhỏ nhất mà NP=AM nên AM nhỏ nhất

Ta có: AH là đường cao từ A tới BC nên AM≥AHAM≥AH.

Do đó AM nhỏ nhất khi M trùng H.