Để chứng tỏ S chia hết cho 65 cần chứng tỏ S chia hết cho 5 và 13

+) chứng minh S chia hết cho 5

Ta có: 

5 chia hết cho 5

52 chia hết cho 5

53 chia hết cho 5

........................

52012chia hết cho 5

​Vậy ta suy ra: S = 5+ 52+53+54+...+52011+52012 chia hết cho 5 (1)

+) chứng minh S chia hết cho 13

Tổng S có 2012 số, nhóm 4 số vào 1 nhóm thì ta vừa hết.

Ta có:

B=( 5+52+53+54) + (56+57+58+59) +...+ ( 52009+ 52010+52011+52012)

  = 5(1+5+52+53)+56(1+5+52+53)+...+52009(1+5+52+53)

  =(1+5+52+52)(5+56+...+52009)

  = 156.(5+56+...+52009)chia hết cho 13(2)

Từ(1) và (2) ta suy ra B chia hết cho 5 và 13.

Mà ƯCLN(5;13)=1

Suy ra B chia hết cho 5.13=65

Vậy B chia hết cho 65.