a) Gọi I là giao điểm của PE và QF. Ta thấy P thuộc trung trực của BE nên ΔΔBPE cân tại P

Kết hợp với ^PBE = 450 => ΔΔPBE vuông cân tại P. Tương tự ΔΔCQF vuông cân tại Q.

Do đó ^POQ= ^OPE = ^OQF = 900 cho nên tứ giác POQI là hình chữ nhật.

=> ^EIF = 900. Mà ^IEF = ^PEB = 450 nên ΔΔEIF vuông cân tại I

Ta có ^EMF = ^AMD = 450 = 1/2.^EIF => ΔΔMEF nội tiếp đường trong tâm I bán kính IE=IF

Cũng dễ có PE // AO (Cùng vuông góc OB). Do vậy ^IME = ^IEM = ^PEA = ^OAE = ^OMA

=> Hai tia MI,MO trùng nhau => O,I,M thẳng hàng. Từ tứ giác POQI là hình chữ nhật ta suy ra OI chia đôi PQ

=> OM cũng chia đôi PQ (đpcm).

b)  Dễ thấy khoảng cách tứ K,O,L đến BC bằng AB/2 nên K,O,L thẳng hàng.

Khi đó dễ thấy tứ giác PQTS là hình thang cân nhận KL làm trục đối xứng

Lúc này ta có ^POI = ^OPQ = ^OST => OI vuông góc với ST hay OM vuông góc với ST

=> ^VUM = 900 - ^UMO = 900 - ^OAM = 900 - ^MDC = ^ADV => Tứ giác DAUV nội tiếp

=> ^KUV = ^ADV = 1800 - ^VLK. Từ đây có tứ giác KLVU nội tiếp

Hoặc 4 điểm K,L,U,V cùng thuộc một đường tròn (đpcm).