Câu a

Xét ∆ABC và ∆HBA

Góc H = góc A = 900

Chung góc B

=> ∆ABC đồng dạng ∆HBA (góc góc)

=>
A
B
B
H
=
A
C
A
H
 (tỉ lệ cặp cạnh tương ứng)

=> 
A
B
A
C
=
B
H
A
H
(1)

mà ta có BM = 
1
2
B
H
; AN =
1
2
A
H
(2)

Từ (1)(2) =>
B
M
A
N
=
1
2
B
H
1
2
A
H
=
A
B
A
C

Xét ∆ABM và ∆CAN, Ta có:

Góc B = góc A1 (do cùng phụ góc BAH)

B
M
A
N
=
A
B
A
C

=> ∆ABM đồng dạng ∆CAN (cạnh góc cạnh)

Câu b

ta có BM = MH (M là trung điểm BH)

AN = NH (N là trung điểm AH)

=> MN là đường trung bình tam giác ABH

=> MN // AB => MN vuông góc AC (vì AB vuông góc AC)

Xét tam giác MAC có:

- MN là đường cao

- AH là đường cao

MN và AH cắt nhau tại N => CN là đường cao ứng với cạnh AM (tính chất 3 đường cao đồng quy tại trực tâm)

=> CN vuông góc AM