a) Xét tứ giác AEHF có 

$\widehat{AFH}$ và $\widehat{AEH}$ là hai góc đối

$\widehat{AFH}+\widehat{AEH}={180}^0 \left({90}^0+{90}^0={180}^0\right)$

Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
 Xét tứ giác BFEC có 

$\widehat{BFC}$=$\widehat{BEC}$ $\left(={90}^0\right)$

$\widehat{BFC}$ và $\widehat{BEC}$ là hai góc cùng nhìn cạnh BC

Do đó: BFEC là tứ giác nội tiếp (Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b, tg AEH vuông tại E có I là trung điểm AH nên EI=IH -> ^IEH=^IHE

tg BEC vuông tại E có M là trung điểm BC nên EM=MB -> ^MEB=^MBE

lại có ^IHE=^DHB( hai góc đối đỉnh) và ^DHB+^DBH=90 độ nên ^IEH+^MEB=90 độ hay ^IEM=90 độ -> IE vuông góc ME

tứ giác IEMD có: ^E+^D=90 độ+90 độ =180 độ nên là tứ giác nội tiếp -> 4 điểm I, E, D, M thuộc một đường tron

Chứng minh tương tự: 4 điểm I, F, D, M thuộc một đường tròn

Từ đó suy ra 5 đỉnh I,E,M,D,F thuộc một đường tròn(đpcm)

c, Theo câu b , tứ giác DFIE nội tiếp nên ^FDI=^IEF, ^EDI=^EFI

mà IE=IF=AH/2 nên tg EIF cân tại I -> ^IEF=^IFE -> ^FDI=^EDI -> DI là phân giác ^EDF