Xét 2 tam giác vuông MAC và CBN có: AM=BC ; AC=BN
=> 2 tam giác bằng nhau ( 2 cgv) => MC=CN
Ta có: Ax // By ( cùng vuông góc với AB) => AM' // BN.

Mà AM'=BN => AM'BN là hình bình hành => AN=BM'
Ta có: Ax // By ( cùng vuông góc với AB) => AM // BN'.

Mà AM=BN' => AMBN' là hình bình hành => AN’ = BM .
Vì AM'BN là hình bình hành (cmt) => AN // BM’
AMBN' là hình bình hành(cmt)=>AN’ // BM
b/ Vì AM'BN là hình bình hành (cmt) =>M'N cắt AB tại trung điểm AB
AMBN' là hình bình hành(cmt)=> MN' cắt AB tại trung điểm AB khi đó M'N cắt MN' tại trung điểm AB.

a) +) Xét ΔΔAM'B và ΔΔBNA  có;

^M'AB = ^NBA = 90o 

AB chung

AM' = BN  ( = AC)

=> ΔΔAM'B = ΔΔBNA  

=> AN = BM'

+) Vì AM' = ABN ; AM = BN' ( = BC )

=> AM = BN'

^MAB = ^N'BA = 90o 

=> ΔΔAMB = ΔΔBN'A 

=> AN' = BM 

+) Xét ΔΔAMC và ΔΔBCN có:
AM = BC 

BN = AC 

^MAC = ^CBN ( = 90o )

=> ΔΔAMC = ΔΔBCN 

=> MC = NC 

b)  ΔΔAM'B = ΔΔBNA   ( chứng minh ở a)

=> ^M'BA = ^NAB mà  hai góc này ở vị trí so le trong 

=> AN // BM'

​ΔΔAMB = ΔΔBN'A ​

=> ^MBA = ^N'AB mà hai góc này ở vị trí so le trong 

=> MB // AN'

c) Gọi O là trung điểm của AB 

Xét ΔΔOAM và ΔΔOBN' có:

OA = OB 

^OAM = ^OBN' 

AM  = BN' 

=> ΔΔOAM = ΔΔOBN'  => ^AOM = ^BON'  mà ^AOM + ^MOB = 180o => ^BON' + ^MOB = 180o => MON' = 180o 

=> M; O; N' thẳng hàng (1)

Tương tự chứng minh được:

ΔΔOAM' = ΔΔOBN 

=> M'; O; N thẳng hàng (2)

Từ (1); (2) => MN' và M'N cắt nhau tại điểm O là trung điểm của AB