1) Chứng minh AH ┴ BC .
Vì ΔBMC và ΔBNC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC
Suy ra BMC = BNC = 90*. Do đó: Tam giác ABC có hai đường cao BN , CM cắt nhau tại H
nên H là trực tâm tam giác. Vậy AH ┴ BC.
2) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)
OB = OM (bk đường tròn (O)) nên ΔBOM cân ở M.
Do đó: ^OMB = ^OBM (1)
ΔAMH vuông ở M , E là trung điểm AH nên AE = HE = AH/2 Vậy ΔAME cân ở E.
Do đó: ^AME = ^MAE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OMB + AME = MBO + MAH. Mà MBO + MAH = 90* (vì AH ┴ BC )
Nên OMB + AME = 90*. Do đó ^EMO = 90*. Tức là ME┴OE Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn (O).
3) Chứng minh MN. OE = 2ME. MO
OM = ON và EM = EN nên OE là đường trung trực MN.
Do đó OE ┴ MN tại K và MK = MN/2
ΔEMO vuông ở M , MK ┴ OE nên ME. MO = MK . OE = MN/2.OE.
Suy ra: MN. OE = 2ME. MO.
4) Giả sử AH = BC. Tính tang BAC.
ΔBNC và ΔANH vuông ở N có BC = AH và NBC = NAH (cùng phụ góc ACB)
ΔBNC = ΔANH (cạnh huyền, góc nhọn)