Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Bài 20 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: So sánh(không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

a. 6+2√2 và 9     b. √2 + √3 và 3

c. 9 + 4√5 và 16     d. √11 - √3 và 2

Lời giải:

a. 6+2√2 và 9

Ta có: 9 = 6 + 3

So sánh: 2√2 và 3 vì 2√2 > 0 và 3 > 0

Ta có: (2√2 )²=2².(√2)²=4.2=8

3²= 9

Vì 8 < 9 nên : (2√2 )² < 3²

Vậy 6+2√2 < 9.

b. √2 + √3 và 3

Ta có: ( √2 + √3)²= (√2)².(√3)²=2.3=6

2²=4

Vì 6 > 4 nên (√2.√3)² > 2²

Suy ra: √2.√3 > 2 ⇒ 2. √2.√3 > 2.2 ⇒ 5 + 2. √2.√3 > 4 + 5

⇒ 5 + 2. √2.√3 > 9 ⇒ ( √2 + √3)² > 9 ⇒ ( √2 + √3)² > 3²

Vậy √2 + √3 > 3

c. 9 + 4√5 và 16

So sánh 4√5 và 5

Ta có: 16 > 5 ⇒ √16 > √5 ⇒ 4 > √5

Vì √5 > 0 nên 4. √5 > √5.√5 ⇒ 4√5 > 5 ⇒ 9 + 4√5 > 5 + 9

Vậy 9 + 4√5 > 16

d. √11 - √3 và 2

Vì √11 > √3 nên √11 - √3 > 0

Ta có: (√11 - √3)² = 11 - 2√11.√3 + 3 = 14 - 2√11.√3

2² = 4 = 14 – 10

So sánh 10 và 2√11.√3 hay so sánh giữa 5 và √11.√3

Ta có: 5² = 25

(√11.√3 )² = (√11)².(√3)² = 11.3 = 33

Vì 25 < 33 nên 5² < (√11.√3 )²

Suy ra: 5 < (√11.√3 )²

Suy ra: 14 – 10 > 14 - 2√11.√3 ⇒ (√11 - √3)² < 2²

Vậy √11 - √3 < 2