Bài 2. Cho hàm số
\(f(x) = \left\{ \matrix{
\sqrt x + 1 \text{ nếu   }x\ge 0 \hfill \cr
2x\text{ nếu   }x < 0 \hfill \cr} \right.\)
Và các dãy số \((u_n)\) với \(u_n= \frac{1}{n}\), \((v_n)\) với \(v_n= -\frac{1}{n}\).
Tính \(\lim u_n\), \(\lim v_n\), \(\lim f (u_n)\) và \(\lim (v_n)\).
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \(x → 0\)?
Hướng dẫn  giải:
Ta có \(\lim u_n\)= \(\lim \frac{1}{n}= 0\); \(\lim v_n= \lim (-\frac{1}{n}) = 0\).
Do \(u_n=\frac{1}{n} > 0\) và \(v_n= -\frac{1}{n} < 0\) với \(∀ n\in {\mathbb N}^*\)
, nên \(f(u_n)= \sqrt{\frac{1}{n}}+1\) và \(f(v_n) = -\frac{2}{n}\).
Từ đó \( \lim f(u_n)= \lim (\sqrt{\frac{1}{n}}+ 1) = 1\); \(\lim f(v_n)= lim (-\frac{2}{n}) = 0\).
Vì \(u_n→ 0\) và \(v_n → 0\), nhưng \(\lim f(u_n) ≠  \lim f(v_n)\) nên hàm số \(y = f(x)\) không có giới hạn khi
\(x → 0\).