Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \(v = ( -1;2)\), hai điểm \(A(3;5)\), \(B( -1; 1)\) và đường thẳng d có phương trình \(x-2y+3=0\).
a. Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)
b. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)
c. Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)
Lời giải:
a) Giả sử \(A'=(x'; y')\). Khi đó
\(T_{\vec{v}} (A) = A'\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} {x}'= 3 - 1 = 2\\ {y}'= 5 + 2 = 7 \end{matrix}\right.\)
Do đó: \(A' = (2;7)\)
Tương tự \(B' =(-2;3)\)
b) Ta có \(A = T_{\vec{v}} (C)\) ⇔ \(C= T_{\vec{-v}} (A) = (4;3)\)
c) Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Gọi \(M(x;y)\), \(M' = T_{\vec{v}} =(x'; y')\). Khi đó \(x' = x-1, y' = y + 2\) hay \(x = x' +1, y= y' - 2\). Ta có \(M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0\)\( ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 ⇔ x' -2y' +8=0 ⇔ M' ∈ d'\)
\((d)\) có phương trình \(x-2y+8=0\). Vậy \(T_{\vec{v}}(d) = d'\)
Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến
Gọi \(T_{\vec{v}}(d) =d'\). Khi đó \(d'\) song song hoặc trùng với \(d\) nên phương trình của nó có dạng \(x-2y+C=0\). Lấy một điểm thuộc \(d\) chẳng hạn \(B(-1;1)\), khi đó \(T_{\vec{v}}(B) = (-2;3)\) thuộc \(d'\) nên \(-2 -2.3 +C =0\). Từ đó suy ra \(C = 8\).