Giải các phương trình:
a) \({1 \over {x - 1}} - {{3{x^2}} \over {{x^3} - 1}} = {{2x} \over {{x^2} + x + 1}}\)
b) \({3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + {2 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)
c) \(1 + {1 \over {x + 2}} = {{12} \over {8 + {x^3}}}\)
d) \({{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
Giải:
a) \({1 \over {x - 1}} - {{3{x^2}} \over {{x^3} - 1}} = {{2x} \over {{x^2} + x + 1}}\)
Ta có: \({x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\)
\(= \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}} \right]\) cho nên x³ – 1 ≠ 0 khi x – 1 ≠ 0⇔ x ≠ 1
Vậy ĐKXĐ:  x ≠ 1
Khử mẫu ta được:
\({x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2x\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow  - 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x\)
\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow 4x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix \cr} }\right.\)
x = 1 không thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - {1 \over 4}\)
b) \({3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + {2 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)
ĐKXĐ: x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3
Khử mẫu ta được:
\(3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 2} \right) = x - 1 \Leftrightarrow 3x - 9 + 2x - 4 = x - 1\)
\( \Leftrightarrow 5x - 13 = x - 1\)
⇔ 4x = 12
⇔ x = 3
x = 3 không thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) \(1 + {1 \over {x + 2}} = {{12} \over {8 + {x^3}}}\)
Ta có: \(8 + {x^3} = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\)
\( = \left( {x + 2} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3} \right]\)
Do đó:  8 + x² ≠ 0 khi x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ -2
Suy ra ĐKXĐ: x ≠ -2
Khử mẫu ta được:
\({x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\)
\(\Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x - x - 2} \right] = 0\)
⇔ x(x + 2)(x – 1) = 0
⇔ x(x -1) = 0
⇔x = 0 hay x = 1
x = 0, x = 1 thỏa ĐKXĐ của phương trình.
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {0;1}.
d) \({{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne 3,x \ne  - 3,x \ne  - {7 \over 2}\)
Khử mẫu ta được:
\(13\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 6\left( {2x + 7} \right) \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0\)
\(\Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) - 3\left( {x + 4} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)
⇔ x =3 hoặc x = -4
x = 3 không thỏa ĐKXĐ.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -4