Bài 4. Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) \({x^3}-3{x^2} + 5 = 0\);      
b) \(- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0\) ;      
c) \(2{x^2}-{x^4} =  - 1\).
Giải:
a) Xét hàm số \(y ={x^3}-3{x^2} + 5\) .
Tập xác định : \(\mathbb R\).
* Sự biến thiên:
\(y'{\rm{ }} = 3{x^{2}} - {\rm{ }}6x{\rm{ }} = {\rm{ }}3x\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right)\); \(y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).
- Cực trị: 
     Hàm số đạt cực đạt tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=5\)
     Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\); \(y_{CT}=1\)
- Giới hạn:   
\(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \)
Bảng biến thiên:

* Đồ thị 
Đồ thị giao \(Oy\) tại điểm \((0;5)\)

Số nghiệm của phương trình chính là giao của đồ thị hàm số \(y ={x^3}-3{x^2} + 5\) và trục hoành. Do đó từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Xét hàm số \(y =- 2{x^3} + 3{x^2}\).
Tập xác định : \(\mathbb R\).
Sự biến thiên:
    \(y'= - 6{x^{2  + }}6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1\).
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;0)\) và \((1;+\infty)\); nghịch biến trên khoảng \((0;1)\).
- Cực trị:
    Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\); \(y_{CĐ}=0\).
    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\); \(y_{CT}=-1\)
- Giới hạn: 
\(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = + \infty \cr} \)
Bảng biến thiên:

* Đồ thị 

Số nghiệm của phương trình là giao điểm của đồ thị hàm số \(y =- 2{x^3} + 3{x^2}\) với đường thẳng \(y=2\). Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất.
c) Xét hàm số \(y = f(x) =2{x^2}-{x^4}\)
Tập xác định : \(\mathbb R\).
Sự biến thiên:
\(y' = 4x -4{x^{3}} = 4x(1- {x^2})\); \(y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1\).  
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-\infty;-1)\) và \((0;1)\), nghịch biến trên khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty)\).
- Cực trị:
    Hàm số đạt cực đại tại hai điểm \(x=-1\) và \(x=1\); \(y_{CĐ}=1\).
    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\); \(y_{CT}=0\)
- Giới hạn:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \infty \cr} \)
Bảng biến thiên:
       
* Đồ thị
                         
Số nghiệm của phương trình là giao của đồ thị hàm số \(y = f(x) =2{x^2}-{x^4}\) và đường thẳng \(y = -1\), từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.