Bài 5. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?
a) \(u_n= 2n^2-1\);                     b) \( u_n=\frac{1}{n(n+2)}\)
c) \(u_n= \frac{1}{2n^{2}-1}\);                        d) \(u_n= sinn + cosn\)
Hướng dẫn giải:
a) Dãy số bị chặn dưới vì \(u_n= 2n^2-1≥ 1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)  và không bị chặn trên vì với số \(M\) dương lớn bất kì, ta có \(2n^2-1 > M \Leftrightarrow n > \sqrt{\frac{M+1}{2}}\).
tức là luôn tồn tại \( n ≥   \left [ \sqrt{\frac{M+1}{2}} \right ] + 1\) để  \(2 n^{2}- 1 > M\)
b) Dễ thấy \(u_n > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)  
Mặt khác, vì \(n ≥ 1\) nên \(n^2≥ 1\) và \(2n ≥ 2\).
Do đó \(n(n + 2) =  n^2+ 2n ≥ 3\), suy ra \( \frac{1}{n(n+2)}\) \( \leq \frac{1}{3}\).
Vậy dãy số bị chặn \(0 < u_n\) \(\leq \frac{1}{3}\) với mọi  \(n \in {\mathbb N}^*\)  
c) Vì \(n ≥ 1\) nên \(2n^2- 1 > 0\), suy ra \( \frac{1}{2n^{2}-1} > 0\)
Mặt khác \(n^2 ≥ 1\) nên \(2n^2≥ 2\) hay \(2n^2- 1≥ 1\), suy ra \( u_{n}=\frac{1}{2n^{2}-1} ≤ 1\). 
Vậy \(0 < u_n ≤ 1\), với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\), tức dãy số bị chặn.
d) Ta có: \(sinn + cosn = \sqrt 2sin(n +  \frac{\pi }{4})\), với mọi \(n\). Do đó:
\(-\sqrt2 ≤ sinn + cosn ≤ \sqrt2\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\)
Vậy \(-\sqrt 2  < u_n< \sqrt 2\), với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\).