Bài 4. Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(u_n\) biết:  
a) \(u_n= \frac{1}{n}-2\) ;                        b) \(u_n= \frac{n-1}{n+1}\);
c) \({u_n} = {( - 1)^n}({2^n} + 1)\)           d) \(u_n= \frac{2n+1}{5n+2}\).
Hướng dẫn giải:
a) Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n= \frac{1}{n+1} - 2 - ( \frac{1}{n}\) - 2) = \( \frac{1}{n+1}\) - \( \frac{1}{n}\).
Vì \( \frac{1}{n+1}\) < \( \frac{1}{n}\) nên \(u_{n+1}-u_n\) = \( \frac{1}{n+1}\) - \( \frac{1}{n}< 0\) với mọi \(n \in  {\mathbb N}^*\)  ^.
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
b) Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n= \frac{n+1-1}{n+1+1}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}\)
                                  = \( \frac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0\)
Vậy \(u_{n+1}> u_n\) với mọi \(n \in  {\mathbb N}^*\)   hay dãy số đã cho là dãy số tăng.
c) Các số hạng ban đầu có thừa số \((-1)^n\) nên dãy số không tăng và cũng không giảm.
Vì:
+) \((-1)^n>0\) nếu \(n\) chẵn, do đó \(u_n>0\)
+) \((-1)^n<0\) nếu \(n\) lẻ, do đó \(u_n<0\)
d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (vì \(u_n> 0\)  với mọi \(n \in  {\mathbb N}^*\) ) rồi so sánh với \(1\).
Ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\frac{2n+3}{5n+7}.\frac{5n+2}{2n+1}=\frac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1\) với mọi \(n \in  {\mathbb N}^*\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.