Bài 7. Giải các phương trình sau:
a) \(sin 3x - cos 5x = 0\) ;                              
b) \(tan 3x . tan x = 1\).
Đáp án :
a)
\(sin 3x - cos 5x = 0 \Leftrightarrow cos 5x = sin 3x\)
\(\Leftrightarrow cos 5x = cos (\frac{\pi }{2} - 3x)\)
 \(\Rightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 5x= \frac{\pi }{2}-3x+k2 \pi \\ \\ 5x =- \frac{\pi }{2}+3x +k2 \pi \end{matrix} (k\in \mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} \\ \\ x=-\frac{\pi }{4} +k\pi \end{matrix}, (k\in Z)\)
Vậy nghiệm phương trình là: \(x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} (k\in Z)\) và \(x=-\frac{\pi }{4} +k\pi, (k\in \mathbb{Z})\)
b)
\(tan 3x . tan x = 1\)
Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} cos3x \neq 0\\ \\ cosx \neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi }{6}+k.\frac{\pi }{3}\\ \\ x\neq \frac{\pi }{2} +k.\pi \end{matrix}\right. (k\in \mathbb{Z})\)
\(tan3x.tanx=1\Rightarrow tan3x=\frac{1}{tanx}\Rightarrow tan3x=cotx\)
\(\Leftrightarrow tan3x=tan\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )\)
\(\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{2}-x+k \pi(k\in \mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, k \in \mathbb{Z}\) (thoả điều kiện)
Vậy nghiệm phương trình là \(x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, k \in \mathbb{Z}\).