Bài 5. Cho ba điểm \(A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8)\)
a) Tìm tọa độ điểm \(G\), trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\).
b) Tìm \(T\) là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Chứng minh \(T, G, H\) thẳng hàng.
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Trả lời:
Ta có:
\(\eqalign{
& {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} \Rightarrow {x_G} = \over 3} \Rightarrow {y_G} = -{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left( {y-3} \right)^2} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} + {\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right)^2} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}7 =0\)
\({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} +{\left( {y-3} \right)^2} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y +8} \right)^2} \Leftrightarrow {\rm{ }}7x{\rm{ }} + 11y +24 = 0\)
Do đó tọa độ tâm \(T\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{
x - 2y + 7 = 0 \hfill \cr
7x + 11y + 24 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow T( - 5;1)\)
Ta có: \(\overrightarrow {TH}  = ( - 18;1);\overrightarrow {TG}  = (6;{-1 \over 3})\)
Ta có: \(\overrightarrow {TH}  = {3}\overrightarrow {TG} \)
Vậy ba điểm \(H, G, T\) thẳng hàng.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có tâm \(T(-5; 1)\), bán kính \(R = AT = \sqrt{85}\)
\({R^2} = A{T^2} = {\left( { - 5-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {1-3} \right)^2} = 85\)
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là:
\((x + 5)^2+ (y – 1)^2= 85\)