Bài 8. Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của các cấp số cộng (u_n) biết:
a) \(\left\{ \matrix{5{u_1} + 10u_5 = 0 \hfill \cr {S_4} = 14 \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{{u_7} + {u_{15}} = 60 \hfill \cr u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \hfill \cr} \right.\)
Trả lời:
a) Ta có:
 \(\left\{ \matrix{
5{u_1} + 10u_5 = 0 \hfill \cr 
{S_4} = 14 \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5{u_1} + 10({u_1} + 4d) = 0 \hfill \cr
{{4(2{u_1} + 3d)} \over 2} = 14 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{u_1} + 8d = 0 \hfill \cr
2{u_1} + 3d = 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} = 8 \hfill \cr
d = - 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy số hạng đầu \(u_1= 8\), công sai \(d = -3\)
b) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{u_7} + {u_{15}} = 60 \hfill \cr
u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
({u_1} + 6d) + ({u_1} + 14d) = 60(1) \hfill \cr
{({u_1} + 3d)^2} + {({u_1} + 11d)^2} = 1170(2) \hfill \cr} \right.\)
\((1) ⇔ 2u_1+ 20d = 60 ⇔ u_1= 30 – 10d\) thế vào \((2)\)
\((2) ⇔[(30 – 10d) + 3d]^2+ [(30 – 10d) + 11d]^2= 1170\)
\(⇔ (30 – 7d)^2+ (30 + d)^2= 1170\)
\(⇔900 – 420d + 49d^2+ 900 + 60d + d^2= 1170\)
\(⇔ 50d^2– 360d + 630 = 0\) 
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
d = 3 \Rightarrow {u_1} = 0 \hfill \cr
d = {{21} \over 5} \Rightarrow {u_1} = - 12 \hfill \cr} \right.\)
Vậy
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 0 \hfill \cr
d = 3 \hfill \cr} \right.\)
  hay 
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = - 12 \hfill \cr
d = {{21} \over 5} \hfill \cr} \right.\)