Bài 1
A = a + b + c + 1/a + 1/b + 1/c
A ≥ 3³√abc + 3/³√abc
A ≥ 12³√abc + 3/³√abc - 9³√abc
A ≥ 12 - 3(a+b+c)
A ≥ 12 - 9/2 = 15/2
Vậy GTNN của A là 15/2 <=> a=b=c=1/2

Bài 2
A = a^2 + b^2 + c^2 + 1/a + 1/b + 1/c
A ≥ 3³√(abc)^2 + 3/³√abc
A ≥ 12³√(abc)^2 + 3/2³√abc + 3/2³√abc - (3³√abc)^2
A ≥ 9 - (a+b+c)^2
A ≥ 9 - (3/2)^2 = 27/4
Vậy GTNN của A là 27/4 <=> a=b=c=1/2

bài 3
A = (a+b)/√ab +√ab/(a+b) ≥ 2√[(a+b)√ab]/[√ab(a+b)] = 2
Dấu "=" xảy ra <=> (a+b)^2 = ab
                        <=> a = b
Vậy GTNN của A là 2 <=> a = b
 

Bài 4
Tương tự bài 3
ta có a/(b+c) + (b+c)/a ≥ 2
         b/(c+a) + (c+a)/b ≥ 2
         c/(a+b) + (a+b)/c ≥ 2
do đó A ≥ 2 + 2 + 2 = 6
Vậy GTNN của A là 6 <=> a=b=c

bài 5
dễ dàng chứng minh 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9/(a+b+c) và dấu "=" xảy ra <=> 1/a=1/b=1/c
Áp dụng 1/2x + 1/y + 1/z ≥ 9/(2x+y+z)
             1/x + 1/2y + 1/z ≥ 9/(x+2y+z)
             1/x + 1/y + 1/2z ≥ 9/(x+y+2z)
Cộng từng vế ta có (1/2x + 1/2y + 1/2z) + ( 2/x + 2/y + 2/z) ≥ 9A
<=> 2 + 8 ≥ 9A
<=> A ≤ 10/9
Vậy GTLN của A là 10/9 <=> a=b=c=3/4