Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AB; CD
ΔSAB cân tại S ⇒ SP ⊥ AB (1)
ΔSCD cân tại S ⇒ SQ ⊥ CD ⇒SQ ⊥ AB (2) (vì AB//CD)
(1) và (2) ⇒AB ⊥ (SPQ) ⇒AB ⊥ PQ ⇒AB ⊥ BC ( vì BC//PQ)
⇒ABCD là hình vuông ( hình thoi có 1góc vuông)
Gọi N là giao điểm của (MEF) vs AD
Vì EF//AB ⇒ MN//AB//EF ⇒ EFMN là hình thang (3)
Mặt khác SA = SB; SD = SC; AD = BC ⇒ΔSAD = ΔSBC (c.c.c) => ^EAN = ^FBM và AE = BF; AN = BM ⇒ΔAEN = ΔBFM (c.g.c) ⇒EN = FM (4)
⇒ EFMN là hình thang cân chính là thiết diện cần tìm
Ta có ΔSAD cân tại A ( vì SA = AD = a) mà SD = a√3 ⇒ ^SAD = 120o = ^EAN
Áp dụng định lý hs cosin cho ΔAEN ta có:
EN² = AN² + AE² - 2AN.AE.cos(^EAN) = x² + a²/4 - 2.x.(a/2).cos120o = x² + a²/4 + ax/2
Hạ EH ⊥ MN ⇒NH = a/4
⇒ EH² = EN² - NH² = x² + a²/4 + ax/2 - a²/16 = x² + ax/2 + 3a²/16
⇒S(EFMN) = (1/2)(EF + MN).EH = (1/2)(a/2 + a)√[(16x² + 8ax + 3a²)/16]
= (1/16)(3a)√(16x² + 8ax + 3a²)