Vẽ đường cao AH của tg ABC cắt (O) tại K => AK là đường kính của (O) => KB _|_ AB mà DB _|_ AB => D thuộc KB. Tương tự E thuộc KC
a) Ta có : tam giác BDM cân tại D
=> ^DMB = ^DBM = ^BAH = ^BAC/2 (1) (góc có cạnh tương ứng : DB _|_ AB; BM _|_ AH)
=> ^BDM = 180o - (^DBM + ^DMB) = 180o - ^BAC
=> ^BNM = ^BDM/2 = 90o - ^BAC/2 (2) (vì trong (D) góc nội tiếp ^BNM = 1/2 góc ở tâm ^BDM)
Hoàn toàn tương tự
^EMC = ^ECM = ^CAH = ^BAC/2 (3)
Và ^CNM = 90o - ^BAC/2 (4)
(3) + (4) : ^BNM + ^CNM = 180o - ^BAC <=> ^BNC + ^BAC = 180o <=> ABNC nội tiếp (O) hay N thuộc (O)
b) từ (2) và (4) ở câu a)
=> ^DMB = ^DBM = ^EMC = ^ECM
=> EM//DK và DM//CK => DMEK là hình bình hành => tg DKC = tg DMC = tg DNC (do đối xứng qua đường nối tâm DE của (D) và (E)) => DE//KN => AN _|_ DE ( vì AN _|_ KN do AK là đường
kính của (O)) mà MN _|_ DE => A,M,N thẳng hàng
Đối với (D) có tiếp tuyến AB và cát tuyến AMN, xét 2 tg ABM và ABN ta có : ^A Chung và ^ABM = ^BNM (cùng chắn cung BM) => tg ABM ~ tg ABN => AB/AM = AN/AB => AM.AN = AB^2 = k đổi
c) Theo câu a) Tổng 2 bán kính của (D) và (E) là : DB + EM = DB + KD = BK = k đổi
d) vì DMEK là hình bình hành => trung điểm I của đường chéo DE cũng là trung điểm của đường chéo KM mà K cố định => trong tg cân BKC khi M di chuyển trên cạnh đáy BC thì I di chuyển trên đường trung bình PQ ( với P, Q là trung điểm của BK và CK).