a) Ta có : M là trung điểm AB ; MP // BC => P là trung điểm AC. 
M là trung điểm AB, MN // AC => N là trung điểm BC.
=> PN là đường trung bình tam giác ABC => PN // AB, PN = 1/2 AB
Mà BM = 1/2 AB (M là trung điểm AB).
=> PN = BM ; PN // BM => BMPN là hình bình hành.

a)
Xét Δ ABC có :
AM = BM( gt)
MP // BN
=> MP là đường tb của ΔABC
=> MP = 1/2 BC = BN
Xét tứ giác BMPN có :
MP // BN(gt)
MP = BN(cmt)
=> tứ giác BMPN là hình bình hành ( dhnb) ( đcpcm)

Cho tam giác ABC . Qua trung điểm M của cạnh AB , kẻ MP// BC , MN//AC ( P thuộc AC và N thuộc BC )
a, CM : Tứ giác BMPN là hình bình hành
b, Gọi I là giao điểm MN và BP , Q là giao điểm của MC và PN , CM : IQ = 1/4 BC
c, Tam giác ABC có điều kiện gì tứ giác BMPN là hình chữ nhật
---------------------------------
MP//AC suy ra MP//BN(3)
xét tam giác ABC có;
AM=MB
MP//BC
=>AP=PC(1)
MN//AC
=>BN=NC(2)
từ 1 và 2 suy ra
NP là đường trung bình của tam giác ABC
=> NP // AB hay NP //BM (4)
từ 3 và 4 suy ra tứ giác BMPN là hình bình hành
=>đpcm

b) vì tứ giác AMPN là hình bình hành
=> IB = IP(5)
Ta có: MP // BC = > MP .//NC
MN //AC = > MN //PC
Suy ra tứ giác MNCP là hình bình hành
=> QP=QN(6)
từ 5 và 6 suy ra IQ là đường trung bình của tm giác pbn
suy
ra IQ = 1/2 . BN
chứng minh tương tự ta cũng suy ra được: IQ là đường trung bình của tam giác NMC
=> IQ = 1/2 . NC
Vậy ra có:
2.IQ = 1/2 .BN + 1/2 . NC = 2/4.BC = 1/2 . BC
<=> IQ = 1/2 .bc 1/2 = 1/4 . bc
đpcm