1. Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính 5cm. Tiếp tuyến với đường tròn tại C cắt tia phân giác của góc ABc tại K. BK cắt AC tại D và BD = 4cm. Tính độ dài BK.

2. Cho hai đường tròn (O) và (O1) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO1 cắt các đường tròn (O) và (O1) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF (E ∈ (O), F ∈ (O1) ). Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật/
b) MN ⊥ AD
c) ME.MA = MF.MD

3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Phân giác góc BAC cắt đường tròn (O) ở M. Tiếp tuyến kẻ từ M với đường tròn cắt các tia AB, AC lần lượt ở D và E. Chứng minh:
a) BC//DE?
b) ΔAMB ~ ΔMCE; ΔAMC ~ ΔMDB
c) Nếu AC = CE thì MA^2 = MD.ME

4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, dây AC và tia tiếp tuyến Bx nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn. Tia phân giác của góc CAB cắt dây BC tại F, cắt nửa đường tròn tại H, cắt Bx tại D.
a) Chứng minh FB = DB và HF = HD
b) Gọi M là giao điểm của AC và Bx. Chứng minh: AC.AM = AH.AD
c) Tính AF.AH + BF.BC theo bán kính R của đường tròn (O)

5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB<AC). Đường tròn (I) đi qua B và C, tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D. Chứng minh rằng: OA ⊥ BD

6. Cho đường tròn (O), (O1) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm phân biệt B, C khác A. Các đường thẳng BA, CA cắt đường tròn (O1) tại P và Q. Chứng minh PQ//BC?

7. Cho đường tròn (O1) tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại A. Đường kính AB của đường tròn (O) cắt đường tròn (o1) tại điểm thứ hai C khác A. Từ B vẽ tiếp tuyến BP với đường tròn (O1) cắt đường tròn (O) tại Q. Chứng minh AP là phân giác góc QAB.

8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M. Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.
a) Chứng minh rằng: CA là tia phân giác của góc MCH.
b) Giả sử MA = a, MC = 2a. Tính AB và CH theo a

9. Từ một điểm M cố định bên ngoài đường tròn (O), kẻ một tiếp tuyến MT (T là tiếp điểm) và một cát tuyến MAB của đường tròn đó.
a) Chứng minh: MT^2 = MA.MB
b) Trường hợp cát tuyến MAB đi qua tâm O. Cho MT = 20cm, và cát tuyến dài nhất cùng xuất phát từ M bằng 50cm. Tính bán kính R của đường tròn (O)