Đặt các đường cao của I tới AB, BC, CA lần lượt là a, b, c. Ta cần chứng minh a + b + c không đổi.
Ta có : S_ABC = S_IAB + S_IBC + S_ICA
= 1/2.a.AB + 1/2.b.BC + 1/2.c.CA
Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều)
=> S_ABC = 1/2.a.AB + 1/2.b.AB + 1/2.c.AB
=> S_ABC = 1/2.AB.(a + b + c)
=> a + b + c = 2.S_ABC/AB
Mà diện tích tam giác ABC không đổi, độ dài AB không đổi
=> a + b + c không đổi (đpcm)