Bài 3: Nếu p,q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì p^2 - q^2 chia hết cho 24.
Giải:
Trước tiên chứng minh p^2 − 1 chia hết cho 24
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 2k+1
p^2−1=(p−1)(p+1)=4k(k+1) chia hết cho 8 vì k(k+1) chia hết cho 2.
Mặt khác vì p^2 số chính phương lớn hơn 3 nên chỉ có thể chia 3 dư 1 hoặc chia hết (dễ chứng minh), nhưng p không thể chia hết cho 3 vì p nguyên tố, suy ra p^2−1 chia hết cho 3
Mà (8;3)=1 nên p^2−1 chia hết cho 24.
Tương tự ta có q^2−1 chia hết cho 24.
Suy ra p^2−q^2=(p^2−1)−(q^2−1) chia hết cho 24 (đpcm)