Bài 2
a) Chứng minh một số chính phương chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Xét:
x = 4k => x^2 = 16k^2 chia 4 dư 0
x = 4k + 1 => x^2 = (16k^2 + 8k + 1) = 4(4k^2 + 2k) + 1 chia 4 dư 1.
x = 4k + 2 => x^2 = (16k^2 + 16k + 4) = 4(4k^2 + 4k + 1) chia 4 dư 0.
x = 4k + 3 => x^2 = (16k^2 + 24k + 9) = 4(4k^2 + 6k + 2) + 1 chia 4 dư 1.
Vì vậy, một số chính phương chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
b) Chứng mình một số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Xét:
x = 3k => x^2 = 9k^2 chia 3 dư 0
x = 3k + 1 => x^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1 chia 3 dư 1
x = 3k + 2 => x^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1 chia 3 dư 1.
Vì vậy, một số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.

Bài 3: a) Chứng minh tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương. 
---------------------------------------------------------------------------------
Giả sử hai số lẻ đó lần lượt là x = 2a + 1; y = 2b + 1. Ta có: 
x^2 + y^2 = (2a + 1)^2 + (2b + 1)^2
                = 4a^2 + 4a + 1 + 4b^2 + 4b + 1
                = 4(a^2 + a + b^2 + b) + 2
=> x^2 + y^2 chia 4 dư 2. 
Theo câu 2a, ta đã chứng minh một số chính phương chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
=> x^2 + y^2 không thể là số chính phương => đpcm

Bài 5
A = 3x^2 - 2x + 3y^2 - 2y + 6xy - 100
    = 3.( x^2 + y^2 + 2xy ) - 2.( x + y ) - 100
    = 3.( x + y )^2 - 2.( x + y ) - 100
Với x + y = 5
=> A = 3.5^2 - 2.5 - 100
          = - 35
B = x^3 + y^3 - 2x^2 - 2y^2 + 3x^2y + 3xy^2 - 4xy + 3x + 3y + 10
    = ( x^3 + y^3 + 3x^2y + 3xy^2 ) - 2.( x^2 + y^2 + 2xy ) + 3.( x  + y ) + 10
    = ( x + y )^3 - 2.( x + y )^2 + 3.( x + y ) + 10
Với x + y = 1
=> B = 1 - 2 + 3 + 10
         = 12  

Bài 4
c) a^2 + b^2 + c^2 + 3 = 2.( a + b + c )
=> a^2 + b^2 + c^2 + 3 - 2( a + b + c ) = 0
=> ( a^2 - 2a + 1 ) + ( b^2 - 2b + 1 ) + ( c^2 - 2c + 1 ) =0
=> ( a - 1)^2 + ( b - 1 )^2 + ( c - 1 )^2 = 0
=> a - 1 = 0
và b - 1 = 0
và c - 1 = 0
=> a = 1
và b = 1
và c = 1
=> a = b=c = 1
b) Có ( a + b + c )^2 =3.( ab + ac + bc )
=> a^2 + b^2 + c^2 + 2.( ab + ac + bc ) = 3( ab + ac + bc )
=> a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc
=> a^2 + b^2 + c^2 - ab + ac + bc = 0
=> 1/2 .[ ( a^2 + b^2 - 2ab ) + ( b^2 + c^2 - 2bc ) + ( a^2 + c^2 - 2ac ) ] = 0
=> 1/2.[ ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( a - c )^2 ] = 0
=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( a - c )^2 = 0
=> a = b = c
a) => a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc
=> a^2 + b^2 + c^2 - ab + ac + bc = 0
=> 1/2 .[ ( a^2 + b^2 - 2ab ) + ( b^2 + c^2 - 2bc ) + ( a^2 + c^2 - 2ac ) ] = 0
=> 1/2.[ ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( a - c )^2 ] = 0
=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( a - c )^2 = 0
=> a = b = c