Xét ΔMAC và ΔBAN có:
- AM = AB (T/c Δ cân)
- MAC^ = BAN^ ( = 90°+BAC^)
- AC = AN (T/c Δ cân)
=> ΔMAC = ΔBAN (c.g.c)
=> AMC^ = ABN^ và MC = BN (1)
Gọi giao điểm của MC AB và BN lần lượt là H và K ta có:
AMH^ + AHM^ = 90° (2)
Mà AHM^ = KHB^ (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: HBK^ + KHB^ = 90°
Trong ΔBHK có HKB^ = 180 – (HBK^ + KHB^) = 90° hay MC ┴ BN
Trên tia đối của DE lấy O sao cho DO = DE, dễ có ΔMDO = ΔBDE (c.g.c)
=> OM//BE nên OM//EC và OM = EC (do E là trung điểm BC)
=> ΔOME = ΔCEM (g.c.g)
=> OE = MC và OE//MC
Mà DE = ½ OE (Theo cách lấy O) nên DE //= ½ MC (4)
Tương tự ta chứng minh được EF //= ½ BN (5)
Từ (1),(4) và (5) ta có DE = EF nên ΔDEF cân tại E
Lại có MC vuông góc với BN nên DE ┴ DF (T/c // và vuông góc)
Vậy tam giác ΔDEF vuông cân tại E