a) Chứng minh M là trung điểm của AE
E ∈ (O;AB/2) => góc AEB = 90 => AE vuông góc với BE
M∈ (I; OA) => góc AMO =90 => AM vuông góc với MO
Xét tam giác ABE có:
MO//BE (do cùng vuông góc với AE)
O là trung điểm AB, hay OA=OB
=> MO là đường trung bình của tg ABE
=> M là trung điểm AE (đpcm)

b) Chứng minh IM song song OE
Tam giác AOE có:
IA=IO (gt)
MA-ME(cmt)
=> IM là đường trung bình của tg AOE
=> IM//OE(đpcm)

Cách khác
Xét (I)
Góc AMO là góc nội tiếp chắn nửa đg tròn
=>AMO=90^0=> AM vuông góc OM (1)
Xét (O)
Góc AEB là góc nội tiếp chắn nửa đg tròn
=>AEB=90^0=>AE vuông góc BE (2)
(1);(2)=>OM//BE
tg AMO và tg AEB có OM//BE
=>tg AMO đồng dạng tg AEB (đli 2 tg đồng dạng)
=> AM/AE=OM/AB=R/2=1/2
AM=1/2. AE=>AE=2AM
AE=AM+ME
2AM=AM+ME
ME=AM=> M là tđ AE=> đpcm

Câu b
Cách khác
Tg AIM và tg AOE
Góc A chung
AM/OE=AI/OA=1/2
=>TgAIM=Tg AOE(g-g)
=>AMI=AEO mà 2 góc này đv=>IM//OE=>đpcm