4. sin2x+cos3x=0
<=> 2sinxcosx + 4cos^3x - 3cosx = 0
<=> (2sinxcosx + 4cos^3x) - 3cosx = 0
<=> 2cosx(sinx + 2cos^2x) - 3cosx =0
<=> cosx(2sinx + 4cos^2x - 3) = 0
<=> cosx = 0
<=> x = π/2 + kπ ,k thuộc Z
hoặc 2sinx + 4cos^2x - 3 = 0
<=> 2sinx + 4 - 4sin^2x - 3 =0
<=> 4sin^2x - 2sinx - 1 = 0
<=> sinx = (1 + √5)/4
<=> x = arcsin(1 + √5)/4 + k2π , k thuộcZ
vậy...

Minh cam on ạ~

1. sin(x+π/3)=-sin(2x-π/4)
<=> sin(x + π/3) = sin(π4 - 2x)
<=> x +π/3 = π/4 - 2x + k2π
<=> 3x = -π/12 + k2π
<=> x = -π/36 + k2π/3 , k thuộc Z
hoặc x + π/3 = π - (π/4 - 2x) + k2π
<=> x + π/3 = π - π/4 + 2x + k2π
<=> x = -5π/12 - k2π ,k thuộc Z
vậy S = { -5π/12 - k2π ; -π/12 + k2π/3 | k thuộc Z }
3. tan3x + tan(2x - 45°) = 0
<=> tan3x = -tan(2x - 45°) =0
<=> tan3x = tan(45° - 2x)
<=> 3x = 45° - 2x +k180°
<=> 5x = 45° + k180°
<=> x = 9° + k36° , k thuộc Z
vậy S = { 9° + k36° | k thuộc Z }

4. sin2x + cos3x = 0
<=> cos3x = -sin2x
<=> cos3x = sin(-2x)
<=> cos3x = cos(π/2 + 2x)
<=> 3x = π/2 + 2x + k2π
hoặc 3x = -π/2 - 2x + k2π, k nguyên
<=> x = π/2 + k2π
hoặc x = -π/10 + k2π/5, k nguyên

2. tan3x + tanx = 0 (1)
ĐK:
1. cos3x # 0 <=> 3x # π/2 + kπ <=> x # π/6 + kπ/3;
2. cosx # 0 <=> x # π/2 + kπ
Ta có:
tan3x + tanx = sin3x/cos3x + sinx/cosx = (sin3xcosx + cos3xsinx) / cos3xcosx (quy đồng lên)
Từ PT (1) <=> (sin3xcosx + cos3xsinx) / cos3xcosx = 0
<=> sin3xcosx + cos3xsinx = 0 (2)
Áp dụng công thức Cộng lượng giác: sina.cosb + cosa.sinb = sin(a+b)
Do đó, PT (2) <=> sin(3x+x) = 0 <=> sin4x=0 <=> 4x = kπ <=> x = kπ/4
Vậy nghiệm của PT tan3x + tanx = 0 là x = kπ/4, k thuộc Z