HD :a) tự lm
b) Nối A ->M; E -> O, do 2 tiếp tuyến từ A và M cắt nhau tại E => EO đi qua trung điểm AM(chứng minh được EO là trung trực AM), mà trung điểm AM cũng là trung điểm PQ => đpcm

c) Ta có: EO ⊥ AM và MB ⊥ AM => EO // BM
Xét ∆AEO và ∆PMB có: + góc EAO = góc MPB = 90độ
+ góc AOE = góc MBP(đồng vị do EO // BM)
=> ∆AEO ~ ∆PMB(g.g) =>AE/PM = AO/PB => PM/AE = PB/AO(1)
Do KP // AE => KP/AE = PB/AB(2) mà BC = 2.AO (3)
Từ (1);(2) và (3) bạn tự suy ra PM = 2.PB => đpcm

d) Theo hệ thức lượng ta tính được: AP = √[ x(2R - x) ].
Ta có S(APMQ) = x.√[ x(2R - x) ] = √[ x³(2R - x) ] => S(APMQ) max <=> √[ x³(2R - x) ] max
Ta có 3x³(2R - x) = 3.x.x.x(2R - x) = x.x.x(6R - 3x), áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương x;x;x;(6R - 3x) ta được: x + x + x + (6R - 3x) ≥ 4 căn bậc 4[x.x.x(6R - 3x) ]
<=> 6R ≥ 4 căn bậc 4[x.x.x(6R - 3x) ]
=> 1,5R ≥ căn bậc 4[x.x.x(6R - 3x) ] => (1,5R)² ≥ √[ x.x.x(6R - 3x) ]
=> (1,5R)² ≥ √3.S(APMQ) => bạn tự suy ra max S(APMQ) = (3.√3.R²)/4. Đạt đựơc giá trị này <=> x = 6R - 3x <=> 6R = 4x <=> x = 3R/2. vậy AP = 3R/2 => tính đựơc MP = (√3.R)/2, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AMP tính được góc MAP = 30độ => suy ra vị trí điểm M