Lý thuyết Bài 1: Nguyên hàm

1. Định nghĩa

   Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoản của R ). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x), ∀x ∈ K.

2. Các định lí

- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , C là hằng số.

   Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là:

- Mọi hàm số f(x) lien tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1. ∫0dx=C, ∫dx= ∫1dx=x+C ;

4. Với k là hằng số khác 0

4. Các phương pháp tìm nguyên hàm

- Phương pháp biến đổi số

   Định lí. Nếu ∫f(u)du=F(u)+C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ∫f(u(x)).u'(x)dx=F(u(x))+C .

   Hệ quả. Nếu u = ax+b, a≠0 thì ta có

- Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

   Định lí. Nếu hai hàm số u = u(x) và và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx hay ∫udv=vu-∫vdu .