Lý thuyết Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tham số

- Vectơ chỉ phương (viết tắt là VTCP) của đường thẳng Δ là vectơ u→ khác vectơ – không và có giá song song hoặc trung với Δ.

- Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và có cectơ chỉ phương u→(a;b) (với a² + b² ≠ 0) là

- Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và có hệ số góc là k là y=k(x-x₀)+y₀.

- Nếu Δ có vectơ chỉ phương là u→(a;b) với a ≠ 0 thì hệ số góc của Δ là k=b/a. Ngược lại, nếu Δ có hệ số góc là k thì Δ có vectơ chỉ phương là u→(1;k).

2. Phương trình tổng quát

- Vectơ pháp tuyến (viết tắt VTPT) của đường thẳng Δ là vectơ n→ khác vectơ – không và vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng. Nếu u→(x;y) là vectơ chỉ phương của đường thẳng thì n→(-y;x) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ đi qua M₀(x₀;y₀) có vectơ pháp tuyến là n→(a;b) (với a² + b² ≠0) là: a(x-x₀)+b(y-y₀)=0

- Đường thẳng Δ cắt Ox, Oy tại các điểm khác gốc tọa độ là A(a; 0), B(0; b) có phương trình theo đoạn chắn là

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

- Cho hai đường thẳng d₁:a₁x + b₁y + c₁=0 và d₂:a₂x + b₂y + c₂ = 0. Số giao điểm của hai đường thẳng là số nghiệm của hệ phương trình

- Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi d₁ song song với d₂

- Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi d₁ cắt d₂

- Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi d₁ trùng d₂

+ Đặc biệt khi a₂b₂c₂ ≠ 0 thì:

4. Góc giữa hai đường thẳng

- Hai đường thẳng d₁,d₂ lần lượt có vectơ pháp tuyến là n₁→=(a₁; b₁ ),n₂→=(a₂; b₂ ). Khi đó góc của hai đường thẳng được xác định bởi công thức

- Nếu đường thẳng d₁,d₂ lần lượt có vectơ chỉ phương u₁→,u₂→ thì ta cũng có cos⁡(d₁,d₂ )=|cos⁡(u₁→,u₂→ ) |

- Nếu đường thẳng d₁,d₂ lần lượt có hệ số góc là k₁; k₂ thì ta có

5. Khoản cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Khoảng cách từ điểm M₀(x₀;y₀) đến đường thẳng Δ có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 là

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d₁:ax+by+c=0 và d₂:ax+by+d=0 (trong đó c ≠ d) là

- Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng lần lượt xác định bởi ax + byy + c > 0 và ax + by + c < 0.

- Phương trinh hai phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau d₁:a₁x+b₁y+c₁=0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂=0 là

Lý thuyết Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

a) Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và nhận vectơ u_Δ→ = (a; b; c), với u_Δ→ ≠ 0→, làm một vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của Δ là:

b) Nếu a, b, c đều khác 0 thì người ta còn viết phương trình của đường thẳng Δ dưới dạng chính tắc như sau:

2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau hoặc chéo nhau

Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt đi qua hai điểm M₀(x₀; y₀; z₀), M'₀(x'₀; y'₀; z'₀) và có vectơ chỉ phương lần lượt là:

b) Xét hệ phương trình hai ẩn

Khi đó:

- d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ (I) có đúng một nghiệm

- d và d' chéo nhau khi và chỉ khi hai vectơ u_d→, u_d'→ không cùng phương và hệ (I) vô nghiệm.

3. Điều kiện để một đường thẳng song song, cắt hoặc vuông góc với mặt phẳng

Cho đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương u_d→ = (a; b; c) ; cho mặt phẳng (P) có phương trình là: Ax + By + Cz + D = 0. Gọi u_p→ = (A; B; C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Ta có:

với k là một số thực nào đó.

4. Tính khoảng cách

a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho điểm A và đường thẳng Δ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là u_Δ→ = (a; b; c) . Để tính khoảng cách từ A đến đường thẳng Δ ta có hai cách:

Cách 1: Bước 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng Δ

Bước 2: Khoảng cách từ A đến đường thẳng Δ chính là khoảng cách giữa hai điểm A và H: d(A, Δ) = AH

Lưu ý: Để tìm được H ta có thể làm như sau: Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ, từ đó suy ra tọa độ của điểm H dưới dạng tham số. Sau đó ta tìm được tọa độ H dựa vào điều kiện

Cách 2. Sử dụng công thức

Hệ quả. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Cho hai đường thẳng song song Δ và Δ’. Gọi M, M' lần lượt là một điểm tùy ý trên Δ và Δ'. Khi đó ta có: d(Δ, Δ') = d(M, Δ') = d(M'; Δ)

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ', trong đó Δ đi qua điểm M và vectơ chỉ phương là u_Δ→ = (a; b; c); Δ' đi qua điểm M' và vectơ chỉ phương u_Δ'→ = (a'; b'; c').

Để tính khoảng cách giữa hai đường thằng Δ và Δ' ta có hai cách

- Cách 1.

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng Δ' và song song với Δ

Bước 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng Δ và Δ' chính là khoảng cách giữa Δ và mặt phẳng (Q): d(Δ, Δ') = d(Δ, (Q)) = d(M, (Q))

- Cách 2. Sử dụng công thức: