Cần giải phương trình:
d2f(x)dx2+f(x)=tanxd2f(x)dx2+f(x)=tan⁡x
Đặtf(x)=eλxf(x)=eλx
Khi đó,d2eλxdx2+eλx=0d2eλxdx2+eλx=0
Lại có:d2eλxdx2=λ2eλxd2eλxdx2=λ2eλx
Suy ra(λ2+1)eλx=0(λ2+1)eλx=0
Do eλx≠0eλx≠0 nênλ2+1=0λ2+1=0
Do đó, đặtf(x)=f1(x)+f2(x)=c1eix+c2e−ix=c1eix+c2eix=(c1+c2)cosx+i(c1−c2)sinxf(x)=f1(x)+f2(x)=c1eix+c2e−ix=c1eix+c2eix=(c1+c2)cos⁡x+i(c1−c2)sin⁡x
Giả định lại c1+c2=c1c1+c2=c1 và i(c1−c2)=c2i(c1−c2)=c2
Ta cófc(x)=c1cosx+c2sinxfc(x)=c1cos⁡x+c2sin⁡x
Giờ cần tính fp(x)fp(x)
Ta có:
fp(x)=fb1(x)v1(x)+fb1(x)v1(x)fp(x)=fb1(x)v1(x)+fb1(x)v1(x)
Vớiv1(x)=−∫g(x)fb2(x)W(x)dxv2(x)=∫g(x)fb1(x)W(x)dxv1(x)=−∫g(x)fb2(x)W(x)dxv2(x)=∫g(x)fb1(x)W(x)dx
Và g(x)=tanxg(x)=tan⁡x vàW(x)=∣∣ ∣∣cosxsinxdcosxdxdsinxdx∣∣ ∣∣=∣∣∣cosxsinx−sinxcosx∣∣∣=1W(x)=|cos⁡xsin⁡xdcos⁡xdxdsin⁡xdx|=|cos⁡xsin⁡x−sin⁡xcos⁡x|=1
Suy ra{v1=log(cosx2−sinx2)−log(cosx2+sinx2)+sinxv2=−cosx{v1=log⁡(cos⁡x2−sin⁡x2)−log⁡(cos⁡x2+sin⁡x2)+sin⁡xv2=−cos⁡x
Từ đó ta đượcfp(x)=cosxlog⎛⎜ ⎜⎝cosx2−sinx2cosx2+sinx2⎞⎟ ⎟⎠fp(x)=cos⁡xlog⁡(cos⁡x2−sin⁡x2cos⁡x2+sin⁡x2)
Suy ra f(x)=fc(x)+fp(x)=c1cosx+c2sinx+cosxlog⎛⎜ ⎜⎝cosx2−sinx2cosx2+sinx2⎞⎟ ⎟⎠f(x)=fc(x)+fp(x)=c1cos⁡x+c2sin⁡x+cos⁡xlog⁡(cos⁡x2−sin⁡x2cos⁡x2+sin⁡x2)$