Bài 9:

Biến đổi pt về dạng:

(x+y)^2=n(4xy+1)<=>x^2+2xy(1-2n)+y^2-n=0(*)

Gọi: (x_0,y_0) chính là nghiệm nguyên dương của pt (*) sao cho x_0+y_0=min (Để cho có thể gom hết cái thằng n)

Kmmtq giả sử:y_0<=x_0

Đưa pt (*) về pt bậc (2) theo ẩn x

Lại gọi (x_1,y_0) là nghiệm khác của (*). Áp dụng vi-et:

x_0+x_1=2y_0(2n-1),x_0x_1=y_0^2-n với x_1 nguyên.

y_0^2<n thì x_1<0=>x_1<=-1(do x_1 nguyên)

Do đó: x_1^2+2x_1.y_0(1-2n)+y_0^2-n>=2y_0(2n-1)+y_0^2-n>0 do 2y_0(2n-1)>=2n>n nên vô lý.

Do đó x_1 phải nguyên không âm

=>x_1=0 hoặc x_1 nguyên dương

Xét th1 :x_1=0=>x_0=2y_0(2n-1) và n=y_0^2. thay vào (*)=>x_0=2y_0(2y_0^2-1). Do đó mọi n chính phương đều thỏa mãn.

TH2: x_1 nguyên dương thì (x_1,y_0) hiển nhiên là 1 nghiệm của phương trình (*), khi đó:

x_1+y_0>=x_0+y_0(Do đã giả sử x_0+y_0 min) =>x_1>=x_0

=>y_0^2-n>=x_0^2>=y_0^2=>-n>=0

Vô lý.

Vậy n phải chính phương thì pt có nghiệm nguyên dương.