Cho hình lăng trụ đứng \[{\mkern 1mu} ABCD.A'B'C'D'\] có đáy là hình thoi có cạnh \[4a\], \[A'A = 8a\], \[\widehat {BAD} = {120^{0.}}\]. Gọi \[M,N,K\] lần lượt là trung điểm cạnh \[AB',B'C,BD'\]. Thể tích khối da diện lồi có các đỉnh là các điểm \[A,B,C,M,N,K\] là:

Đáp án A

\({\rm{MN // AC}};{\rm{ MN}} = \frac{1}{2}AC,{\rm{ MNCA}}\) là hình thang.

\({V_{MNK{\rm{A}}BC}} = {V_{K.MNCA}} + {V_{B.MNCA}}\)

DK cắt \(\left( {B'AC} \right)\) tại \(B'\), \(\frac{{B'K}}{{B'D}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{d\left( {K;(MNC{\rm{D}})} \right)}}{{d\left( {D;(MNCA)} \right)}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{K.MNCA}} = \frac{1}{2}{V_{D.MNCA}}\)

Mà: \({V_{B.MNCA}} = {V_{D.MNCA}}\) nên ta có: \({V_{MNK{\rm{A}}BC}} = \frac{1}{2}{V_{B.MNCA}} + {V_{B.MNCA}} = \frac{3}{2}{V_{B.MNCA}}\)

Mặt khác: \({S_{MNCA}} = \frac{3}{4}{S_{B'AC}} \Rightarrow {V_{B.MNCA}} = \frac{3}{4}{V_{B.B'AC}} = \frac{3}{4}{V_{B'.ABC}} = \frac{3}{4}.\frac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 8\sqrt 3 {a^3}\)

\({V_{MNKABC}} = \frac{3}{2}{V_{B.MNCA}} = \frac{3}{2}8\sqrt 3 {\mkern 1mu} {a^3} = 12\sqrt 3 {\mkern 1mu} {a^3}\).