Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục và có đạo hàm trên đoạn \[\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\] thỏa mãn \[\int\limits_{\frac{{ - 1}}{2}}^{\frac{1}{2}} {\left[ {{f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right).\left( {3 - x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \frac{{ - 109}}.\] Tính tích phân \[I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} - 1}}{\rm{d}}x} .\]

Đáp án B

Ta tính được \(\int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {{{\left( {3 - x} \right)}^2}d{\rm{x}}} = \frac{{ - 109}}\).

Do đó \(\int\limits_{ - \frac{1}{1}}^{\frac{1}{2}} {\left[ {{f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right).\left( {3 - x} \right)} \right]d{\rm{x}}} = - \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {{{\left( {3 - x} \right)}^2}d{\rm{x}}} \)

\( \Leftrightarrow \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {{{\left[ {f\left( x \right) - \left( {3 - x} \right)} \right]}^2}d{\rm{x}}} = 0\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3 - x \Rightarrow I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} - 1}}d{\rm{x}}} = \ln \frac{2}{9}\).