Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn log2x+x(x+y)≥log2(6−y)+6x . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3x+2y+6x+8y bằng

Đáp án B

Điều kiện: x>00

Bất phương trình tương đương với: log2x2+x2≥log2[x(6−y)]+x(6−y)(*) .

Xét hàm số f(t)=log2t+t  (với t>0 ).

Ta có f'(t)=1tln2+1>0,∀t>0  nên hàm số f(t)=log2t+t  đồng biến trên khoảng (0;+∞)  .

Do đó (*)⇔fx2≥f(x(6−y))⇔x2≥x(6−y)⇔x≥6−y⇔x+y≥6 (  **) (do x>0).

Áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dương và bất đẳng thức P=3x+2y+6x+8y=32(x+y)+3x2+6x+y2+8y≥32⋅6+23x2⋅6x+2y2⋅8y=19  ta có:

Đằng thức xảy ra khi và chỉ khi x+y=63x2=6xy2=8y  .⇔x=2y=4

Vậy Pmin=19 .