Cho x,y∈0;2 thỏa mãn x−3x+8=eyey−11 . Giá trị lớn nhất của P=lnx+1+lny bằng:

Đáp án B

Điều kiện: x≥1,y≥1e .

Phương trình tương đương với: x2+5x−24=e2y2−11ey⇔e2y2−11ey−x2+5x−24=0   *

Ta có: Δ=2x+52>0,∀x≥1 .

Do đó: *⇔ey=11+2x+52ey=11−2x+52⇔ey=x+8ey=3−x⇔y=x+8ey=3−xe.

+ Với y=x+8e∉0;2  (vì x+8e>9e>2 ).

+ Với y=3−xe∈0;2  (vì 1≤x<2 ).

Khi đó, ta được: P=lnx+ln3−x  trên 1;21;2 .

Ta có: P'=12xlnx−123−xln3−x=0⇔3−xln3−x=xlnx   ** .

Xét hàm ft=tlnt  trên 1;+∞  , có f't=lnt+12lnt>0,∀t∈1;+∞  .

Khi đó **⇔f3−x=fx⇔3−x=x⇔x=32 .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra Pmax=2ln3−ln2  khi x=32;y=32e .