Cho cấp số cộng an , cấp số nhân bn thỏa mãn a2>a1≥0, b2>b1≥1 và hàm số fx=x3−3x sao cho fa2+2=fa1 và flog2b2+2=flog2b1 . Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho bn>2019an .

Đáp án D

Xét hàm số fx=x3−3x  trên 0;+∞ .

Ta có f'x=3x2−3=0⇔x=1∈0;+∞x=−1∉0;+∞.

Bảng biến thiên hàm số f(x) trên 0;+∞  như sau:

Vì a2>0  nên fa2≥−2⇒fa1=fa2+2≥0   1.

Giả sử a1≥1 , vì fx  đồng biến trên 1;+∞  nên fa2>fa1  suy ra fa2+2>fa1  vô lý.

Vậy a1∈0;1  do đó −2≤fa1≤0  ​2.

Từ (1), (2) ta có: fa1=0fa2=−2⇔a1=0a2=1.

Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số cộng an  là: an=n−1.

Đặt t1=log2b1t2=log2b2 , suy ra: ft1=ft2+2  , vì 1≤b1

Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số nhân bn  là bn=2n−1 .

Do đó bn>2019an⇔2n−1>2019n−1   * .

Trong 4 đáp án n=16 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (*).