Cho hàm số y=f(x) và fx>0, ∀x∈ℝ. Biết hàm số y=f'x có bảng biến thiên như hình vẽ và f12=13716 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈−2020;2020 để hàm số gx=e−x2+4mx−5.fx đồng biến trên −1;12 .

Đáp án D

Ta có:      g'x=−2x+4m.e−x2+4mx−5.fx+e−x2+4mx−5.f'x⇔g'x=−2x+4m.fx+f'x.e−x2+4mx−5.

Yêu cầu bài toán ⇔g'x≥0,∀x∈−1;12  và g'x=0   chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc −1;12 .

⇔−2x+4m.fx+f'x≥0,∀x∈−1;12 

(vì e−x2+4mx−5>0 )

⇔−2x+4m≥−f'xfx,∀x∈−1;12, vì fx>0,∀x∈ℝ

⇔4m≥2x−f'xfx,∀x∈−1;12   *.

Xét hx=2x−f'xfx,∀x∈−1;12.

Ta có h'x=2−f''x.fx−f'x2f2x.

Mà f''x<0fx>0,∀x∈−1;12⇒f''x.fx−f'x2f2(x)<0,∀x∈−1;12.

Từ đó suy ra h'x>0,∀x∈−1;12 .

Vậy hàm số h(x) đồng biến trên −1;12 .

Bảng biến thiên:

Vậy điều kiện *⇔4m≥h12⇔4m≥2.12−f'12f12⇔4m≥225137⇔m≥225548 .

Mà m∈ℤm∈−2020;2020⇒m∈1;2;3;...;2020.

Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.