Cho hàm số \[f(x)\] liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết ∫0π2s⁢i⁢n⁢2⁢x.f⁢(c⁢o⁢s2⁢x)⁢d⁢x=1, khi đó \[\int\limits_0^1 {\left[ {2f(1 - x) - 3{x^2} + 5} \right]dx} \]bằng:

Phương pháp giải: - Xét tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin 2x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx\], đổi biến \[t = {\cos ^2}x\]. Tính được \[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx\].

- Sử dụng tính chất tích phân \[\mathop \smallint \limits_a^b \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx\], phân tích \[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {2f\left( {1 - x} \right) - 3{x^2} + 5} \right]dx\]

- Tiếp tục đổi biến hoặc đưa biến vào vi phân, biểu diễn \[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {2f\left( {1 - x} \right) - 3{x^2} + 5} \right]dx\] theo \[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx\] và tính.

Giải chi tiết:

Xét tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin 2x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx\].

Đặt t=cos2⁡x⇒t=2⁢cos⁡x.(-sin⁡x)⁢d⁢x= -sin⁡2⁢x⁢d⁢x.

Đổi cận: \[x = 0 \Rightarrow t = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 0\].

Khi đó ta có I=-∫10f⁢(t)⁢d⁢t=∫01f⁢(x)⁢d⁢x=1.

Ta có:

∫01[2f(1-x)-3x2+5]dx=2∫01f(1-x)dx+∫01(-3x2+5)dx= -2∫01f(1-x)d(1-x)+4=2.1+4=6

Chọn D.