Có bao nhiêu số nguyên dương a thỏa mãn 1+ln2a  +lna 1+(a−3)2 +a−3≤1  ?

Chọn D.

Điều kiện: a > 0

Vì 1+ln2a>lna≥lna⇒1+ln2a−lna>0.

Do đó 1+ln2a+lna1+a−32+a−3≤1⇔1+a−32+a−31+ln2a−lna≤1

⇔1+a−32+a−3≤1+−lna2+−lna.1

Xét hàm số ft=t+1+t2,t∈ℝ;f't=1+t1+t2=t+1+t21+t2>0,∀t∈ℝ. Suy ra hàm số f'(t) đồng biến trên ℝ

Bất phương trình 1⇔fa−3≤f−lna⇔a−3≤−lna⇔a−3+lna≤0.

Xét hàm số ga=a−3+lna,a∈0;+∞;g'a=1+1a>0,∀a>1.

Hàm số g(a) đồng biến trên khoảng 1;+∞. Do đó phương trình g(a) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm.

Mặt khác g2.g3=ln2−1ln3<0, suy ra ∃a0∈2;3 để ga0=0

Do đó: ga≤0⇔a≤a0⇒a∈0;a0⇒a=1a=2.