Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(5; 0; 0) và B(3; 4; 0). Với C là điểm nằm trên trục Oz, gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng

Ta có OAB=Oxy,C∈Oz suy ra OC⊥OAB.

Mà B3;4;0⇒OB=32+42=5=OA⇒ΔOAB cân tại O.

Gọi M là trung điểm của AB, K là trực tâm của tam giác OAB

Suy ra OM⊥AB và K∈OM.

Ta có AB⊥OMAB⊥OC⇒AB⊥OCM⇒AB⊥HK (do HK⊂OCM) (1).

Mặt khác BK⊥OABK⊥OC⇒BK⊥OAC⇒BK⊥AC.

Mà BH⊥AC (do H là trực tâm của ΔABC) suy ra AC⊥BHK⇒AC⊥HK 2.

Từ (1) và (2) suy ra HK⊥ABC⇒HK⊥HM⇒ΔKHM vuông tại H.

Vì M, K (OCM) cố định và KHM^=900 nên H thuộc đường tròn đường kính KM.

Gọi N là hình chiếu của B lên trục Ox suy ra N(3; 0; 0)

Từ đó ta tính được NA = 2, BN = 4 và AB=25.

Ta có ΔBMK đồng dạng ΔBNA (g.g) nên suy ra MKNA=BMBN⇔MK2=12AB4⇔MK=52.

Vậy khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng MK2=54.

Chọn D.