Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình bên. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f2cosx+3−mfcosx+2m−10=0 có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn −π3;π là

Đáp án C

Ta có f2cosx+3−mfcosx+2m−10=0 .

Đặt t=fcosx  ta được phương trình t2+3−mt+2m−10=0⇔t=2t=m−5 .

Với t=2⇒fcosx=2⇔cosx=12cosx=1⇔x=±π3x=0  vì .

Với t=m−5⇒fcosx=m−5  (1).

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn −π3;π  thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm trên đoạn −π3;π  khác −π3;0;π3 .

Với x∈−π3;π⇒u=cosx∈−1;1 .

Nhận xét:

Nếu u∈12;1  thì có 2 nghiệm x∈−π3;π .

Nếu u=1  hoặc u∈−1;12  thì có đúng 1 nghiệm x∈−π3;π .

fcosx=m−5⇔fu=m−5

Do đó yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi phương trình (1) thỏa mãn  có nghiệm .

Từ bảng biến thiên suy ra −4≤m−5<2⇔1≤m<7 .

Vì m∈ℤ  nên m∈1;2;3;4;5;6 .