Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm f'(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f(1)=.f(0) và ∫01dxf2x+∫01f'x2dx≤2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đáp án C

Ta có ∫01dxf2x+∫01f'x2dx=∫011f2x+f'x2dx≥AM−GM2∫01f'xfxdx =2lnfx10=2lnf1−2lnf0=2lnf1f0=2lne=2.

.

Mà ∫01dxf2x+∫01f'x2dx≤2  nên dấu “=” xảy ra, tức là f'x=1fx⇔fx.f'x=1 .

⇒∫fx.f'xdx=∫xdx⇒f2x2=x+C⇒fx=2x+2CTheo giả thiết f1=e.f0  nên ta có  2+2C=e2C⇔2+2C=e2.2C⇔C=1e2−1

⇒fx=2x+2e2−1⇒f1=2+2e2−1=2e2e2−1.