Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d1:x1=y−12=z+1−2 và d2:x+2−2=y+31=z−32. Hãy lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1;d2; sao cho ba đường thẳng d;d1;d2đồng quy và khoảng cách từ gốc tọa độ O với đường thẳng d là lớn nhất:

Chọn A

Dễ dàng tìm được giao điểm của hai đường thẳng d1:x=t1y=1+2t1z=−1−2t1và d2:x=−2−2t2y=−3+t2z=3+2t2

d1∩d2:x=t1=−2−2t2y=1+2t1=−3+t2z=−1−2t1=3+2t2⇔t1=−2t2=0⇒d1∩d2=I(−2;−3;3)

Nếu gọi (P) là mặt phẳng chứa ba đương thẳng d,d1,d2⇒cặp VTCP của (P) và u→d1=(1;2;−2) và u→d2=(−2;1;2)⇒VTPT của (P) là n→(P)=u→d1;u→d2=(6;2;5)

Ta có:d(O;d)≤OI. Để khoảng cách từ O đến d lớn nhất thì đường thẳng d vuông góc OI tại I. Hay nói cách khác OI→=(−2;−3;3)là một véc tơ pháp tuyến của d

Cặp VTPT của d là n→(P)và OI→. Suy ra VTCP của d là: u→d=n→(P);OI→=(21;−28;−14)

Chọn VTCP của đường thẳng d là:(3;−4;−2)và d đi qua điểm I(−2;−3;3). Chọn đáp án D