Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y=x+m.x2+1 có điểm cực trị và tất cả các điểm cực trị thuộc hình tròn tâm O, bán kính 823 ?

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D=ℝ .

Ta có y'=1+m.xx2+1 .

Cho y'=0⇔m=−x2+1x , (x≠0 ).

Xét gx=−x2+1x⇒g'x=1x2.x2+1>0 ,∀x≠0 .

Ta có limx→+∞gx=−1 ; limx→−∞gx=1 ; limx→0+gx=−∞ ; limx→0−gx=+∞ .

Bảng biến thiên:

Hàm số có cực trị khi m∈ℝ\−1;1 .

Gọi Aa;b  là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Khi đó m=−a2+1a  và b=a−a2+1a=−1a⇒Aa;−1a .

Ta có: OA=a2+1a2≤823⇒19≤a2≤9 .

Vậy m=a2+1a=1+1a2∈103;10 .

Kết hợp với các điều kiện m∈ℤ , m∈ℝ\−1;1 , ta được m∈−3;−2;2;3 .

Chọn A.