Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3,3,-3) thuộc mặt phẳng α:2x−2y+z+15=0 và mặt cầu S:x−22+y−32+z−52=100 . Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng α cắt S tại M,N . Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là

Mặt cầu S  có tâm I2;3;5  và bán kính R=10 .

Mặt phẳng α  có vectơ pháp tuyến n→=2;−2;1 .

Gọi H,K  lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên ∆ và mặt phẳng α .

⇒IK⊥α nên phương trình đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với mặt phẳng α  là x=2+2ty=3−2tz=5+t .

Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình x=2+2ty=3−2tz=5+t2x−2y+z+15=0⇒K−2;7;3 .

Vì Δ⊂α  nên IH≥IK . Do đó IH nhỏ nhất khi H trùng với K.

Để MN lớn nhất thì IH   phải nhỏ nhất.

Khi đó đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A và K. Ta có AK→=1;4;6 .

Đường thẳng ∆ có phương trình là: x+31=y−34=z+36 .

Chọn A.