Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x+24=y−1−4=z+23 và mặt phẳng P:2x−y+2z+1=0 . Đường thẳng ∆ đi qua E−2;1;−2 , song song với P có một vectơ chỉ phương u→=m;n;1 , đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính T=m2−n2 .

Mặt phẳng P  có vectơ pháp tuyến là n→=2;−1;2 ; đường thẳng d có vectơ chỉ phương là v→=4;−4;3 .

Δ//P⇒u→⊥n→⇔2m−n+2=0⇔n=2m+2

Mặt khác ta có: cosΔ;d^=u→.v→u→v→=4m−4n+3m2+n2+1.42+−42+32

=4m+5415m2+8m+5=141.4m+525m2+8m+5=141.16m2+40m+255m2+8m+5

Vì 0°≤Δ,d^≤90°  nên Δ,d^  bé nhất khi và chỉ khi cosΔ,d^  lớn nhất.

Xét hàm số ft=16t2+40t+255t2+8t+5⇒f't=−72t2−90t5t2+8t+52 .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: maxft=f0=5 .

Suy ra Δ,d^  bé nhất khi m=0⇒n=2 .

Do đó T=m2−n2=−4 .

Chọn D.