Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là x−12+y−22+z−32=143 và đường thẳng d có phương trình x−43=y−42=z−42 . Gọi Ax0;y0;z0,x0>0 là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có các tiếp điểm B,C,D sao cho ABCD là tứ diện đều. Giá trị của biểu thức P=x0+y0+z0 là

Gọi I là tâm mặt cầu thì I1;2;3 .

Gọi O là giao điểm của mặt phẳng BCD  và đoạn AI.

Vì theo giả thiết AB=AC=AD  và IB=IC=ID=143  nên AI vuông góc với mặt phẳng BCD  tại O. Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD .

Đặt AI=xx>143 .

Ta có AB=AI2−IB2=x2−143

IB2=IO.IA⇒OI=143x⇒OB=IB2−IO2=143−143x2⇒BD2=OB2+OD2−2OB.OD.cos120°=3OB2⇒BD=3OB⇒BD=3OB=3.143−1969x2

Do ABCD là tứ diện đều nên

AB=BD⇒x2−143=3143−1969x2⇔x2−143=14−1963x23x4−56x2+196=0⇔x2=143x2=14⇒x=14

A∈d nên A4+3t;4+2t;4+t .

Suy ra AI=14⇔4+3t−12+4+2t−22+4+t−32=14

⇔t+1=1⇔t=0t=−2⇒A4;4;4A−2;0;2

Do x0>0  nên điểm A có tọa độ A4;4;4 .

Suy ra P=12 .

Chọn C.